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%%%%%%%   Enviroments     %%%%%%%%%

%%%% 定理环境样式 %%%%%%%%%
\newtheoremstyle{Theorem} % 样式名字
    {\topsep}  % 环境前距
    {\topsep}  % 环境后距
    {\kaishu}  % 内容字体
    {}      % 缩进
    {\bfseries}  % 定理头字体
    {}  % 定理头紧接着的符号
    {.5em}  % 定理头后面空格宽度
    {}  % Theorem head spec (can be left empty, meaning ‘normal’)
\newtheoremstyle{Example}   % 同上
    {\topsep}      
    {\topsep}        
    {}               
    {}                     
    {\bfseries}              
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    {}   
\theoremstyle{Theorem} % 下面的环境用Theorem样式
\newtheorem{Def}{定义}[section]
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\newtheorem{Theo}[Def]{定理}
\newtheorem{Lem}[Def]{引理}
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\newtheorem{Claim}[Def]{断言}
\newtheorem{Remark}[Def]{备注}



\foreach \x in {A,...,Z}{
\expandafter\xdef\csname m\x\endcsname{\noexpand\ensuremath{\noexpand\boldsymbol{\x}}}}



%%%%%%:   Math Operators    %%%%%%%%%
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%%%%%  mathcal & mathscr %%%%%%%%%%%%
\foreach \x in {A,...,Z}{%
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%:    arrows       %%%%%%%%%%
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% Title page details
\title{{\color{red} 1.1 线性方程组}}
%\subtitle{}
\author{} 
\date{}


\begin{document}
\begin{frame}
% Print the title page as the first slide
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
    
    {\kaishu 今有雉兔同笼, 上有三十五头,下有九十四足. 问雉兔各几何? 

    \hfill ------《孙子算经》}

    \bigskip 
    通常我们会列个方程组来解决这个问题.
    
    设有鸡和兔子分别为$x$和$y$只, 那么
\[\left\{
            \begin{array}{l}
                  x+y=35, \\
                  2x+4y=94,
                \end{array}
\right.\]
\end{frame}


\begin{frame}
    
    {\kaishu 今有五雀六燕，集称之衡, 雀俱重, 燕俱轻. 一雀一燕交而处, 衡适平. 并雀、燕重一斤. 问雀、燕一枚各重几何? 

    \hfill ------《九章算术》}


    \bigskip 

问题是说, 有$5$雀$6$燕共重$1$斤($16$两), 雀重而燕轻, 如果交换$1$雀$1$燕, 则两边一样重. 问燕和雀每只各重多少？设一只雀、燕各重$x$和$y$两, 用方程表达为
$$\left\{
\begin{array}{l}
5x+6y=16,\\
4x+y=5y+x.
\end{array}
\right.$$
\end{frame}


\begin{frame}
  
假设在三维空间中有$m$个平面, 每个平面的方程可以表示为如下形式.
$$A_ix+B_iy+C_iz+D_i=0,\quad i=1,2, \cdots, m.$$
如果我们想知道这些平面在空间中是否有公共点(即这个点在给定的所有平面上), 有多少个公共点, 可以通过解方程组 
$$\arraycolsep=1pt 
\left\{
\begin{array}{lcrclclcl}
A_1x&+&B_1y&+&C_1z&+&D_1&=&0,\\
A_2x&+&B_2y&+&C_2z&+&D_2&=&0,\\
&&\cdot\cdots&\cdots&\cdots\cdot\cdot\\
A_mx&+&B_my&+&C_mz&+&D_m&=&0
\end{array}
\right.$$
解决这个问题.
\end{frame}


\begin{frame}
  
{\bfseries 经济平衡问题}. 假设有$n$种产品$P_1,P_2,\cdots, P_n$, 生产一个单位$P_j$需要$a_{ij}$个单位的$P_i$. 如果各种产品的数量是$x_1,x_2,\cdots, x_n$，那么$P_i$的总消耗是
$$a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n,$$
可供给市场的数量是
$$x_i-(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n).$$
如果我们知道市场对各种产品的需求是$b_1,b_2,\cdots, b_n$，为使得供需平衡，可通过解下面的方程组得出各类产品需要生产的量。
$$\arraycolsep=1pt
\left\{
\begin{array}{lclclcccrcl}
x_1&-&(a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+&a_{1n}x_n)&=&b_1,\\
x_2&-&(a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\cdots&+&a_{2n}x_n)&=&b_2,\\
&&&\cdots&\cdots\cdots&\cdots\\
x_n&-&(a_{n1}x_1&+&a_{n2}x_2&+&\cdots&+&a_{nn}x_n)&=&b_n.\\
\end{array}
\right.$$
\end{frame}


\begin{frame}
  

\begin{Def}\label{def-number-field}
  假设$F$为复数集$\mathbb{C}$的含有至少一个非零元的子集. 若对于$F$中任意元素$a,b$且$b\neq 0$, $a+b, a-b, ab, a/b$都属于$F$，则称$F$为一个{\em 数域}(number field).   
\end{Def}


例如：$\mathbb{C}, \mathbb{R}, \mathbb{Q}$. 在本课程中, 可按$F=\mathbb{R}$来理解.
\end{frame}


\begin{frame}
  
这些方程组都由若干个方程组成, 而每个方程都是关于未知数的一次整式的形式. 假设$F$为数域，那么这类方程的一般形式为
\begin{equation}
\label{eq-linear-equation}
\arraycolsep=1pt
  \left\{
\begin{array}{lclccclcl}
a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+&a_{1n}x_n&=&b_1,\\
a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\cdots&+&a_{2n}x_n&=&b_2,\\
&&\cdots\cdots&\cdots&\cdots\\
a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\cdots&+&a_{mn}x_n&=&b_m.\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
其中
\begin{itemize}
  \item $x_1,x_2,\cdots,x_n$为{\em 变元}(variable)；
  \item $a_{ij}\in F, 1\leq i\leq m, 1\leq j\leq n$为方程组的{\em 系数}(coefficient)；
  \item $b_i$为第$i$个方程的{\em 常数}(constant).
\end{itemize}
这样的方程组叫作{\em 线性方程组}(system of linear equations).
\end{frame}


\begin{frame}
  
如果用$F$中的有序组$c_1,c_2,\cdots,c_n$替换方程组(\ref{eq-linear-equation})中的$x_1,x_2,\cdots,x_n$，所有等式都成立，那么称这个有序组为方程组(\ref{eq-linear-equation})的{\em 解}(solution)。

如果这样的有序组存在，那么称方程组(\ref{eq-linear-equation}){\em 有解}(consistent)，

如果这样的有序组不存在，那么称方程组(\ref{eq-linear-equation}){\em 无解}(inconsistent)。 
\end{frame}

\begin{frame}{消元法}
  
解线性方程组
  \begin{equation}
    \label{eq-example-ch1-1}
    \arraycolsep=2pt
    \left\{\begin{array}{rcrcrcr}
      4x_1&+&10x_2&-&3x_3&=&8,\\
      x_1&+&2x_2&-&x_3 &=&1,\\
      -2x_1&-&3x_2&+&7x_3&=&9.
    \end{array}\right.  
  \end{equation}

{\em 解：} 第$1$个方程减去第$2$个方程的$4$倍，第$3$个方程加上第$2$个方程的$2$倍，即消去第$1$个和第$3$个方程中的$x_1$得 
$$\arraycolsep=2pt
\left\{\begin{array}{rcrcrcr}
     && 2x_2&+&x_3&=&4,\\
  x_1&+&2x_2&-&x_3 &=&1,\\
    &&x_2&+&5x_3&=&11.
\end{array}
\right.$$
\end{frame}

\begin{frame}
  
交换前两个方程的位置得
$$\arraycolsep=2pt
\left\{\begin{array}{rcrcrcr}
  x_1&+&2x_2&-&x_3 &=&1,\\
  &&2x_2&+&x_3&=&4,\\
&&x_2&+&5x_3&=&11.
\end{array}
\right.$$
第$2$个方程减去第$3$个方程的$2$倍，即消去$x_2$得
$$\arraycolsep=2pt
\left\{\begin{array}{rcrcrcr}
  x_1&+&2x_2&-&x_3 &=&1,\\
  &&&-&9x_3&=&-18,\\
&&x_2&+&5x_3&=&11.
\end{array}
\right.$$

\end{frame}

\begin{frame}

  第$2$个方程两边同时除以$-9$，并与第$3$个方程交换顺序得
$$    \arraycolsep=2pt
\left\{\begin{array}{rcrcrcr}
  x_1&+&2x_2&-&x_3 &=&1,\\
  &&x_2&+&5x_3&=&11,\\
  &&&&x_3&=&2.\\
\end{array}
\right.$$
第$2$个方程减去第$3$个方程的$5$倍，第$1$个方程加上第$3$个方程得
$$\left\{\begin{array}{rrl}
  x_1+2x_2& &=3,\\
  x_2&&=1,\\
  &x_3&=2.\\
\end{array}
\right.$$
\end{frame}

\begin{frame}
  
最后，第$1$个方程减去第$2$个方程的$2$倍得
$$\left\{\begin{array}{rrrl}
  x_1&&&=1,\\
  &x_2&&=1,\\
  &&x_3&=2.\\
\end{array}
\right.$$
\end{frame}


\begin{frame}
  
我们对方程组进行了下面几种基本的操作. 

\begin{enumerate}%[label={\Roman*}]
  \item[${\rm I}$] 交换两个方程的位置;
  \item[${\rm I\!I}$] 将某个方程乘一个非零的数;
  \item[${\rm I\!I\!I}$] 将一个方程乘一个数加到另一个方程.   
\end{enumerate}
我们把这三种操作称为线性方程组的{\em 初等变换}(elementary operation).  

\begin{Prop}\label{prop-lineq-eleoper}
一个线性方程组经过初等变换后得到的线性方程组与原方程组同解。
\end{Prop}
\end{frame}

\begin{frame}{矩阵}

我们可以很容易地发现，线性方程组有没有解以及有什么样的解只取决于其系数和常数项。像智慧的中国先贤一样，我们可以将方程组(\ref{eq-linear-equation})的系数和常数项排成一个表。
$$\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n} & b_1\\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\
  \vdots & \vdots &  & \vdots & \vdots \\
  a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
\end{pmatrix},$$
它包含了方程组(\ref{eq-linear-equation})全部的信息。
\end{frame}

\begin{frame}
  
\begin{Def}\label{def-matrix}
数域$F$中，$s\times t$个数$c_{ij}$排成一个$s$行$t$列的表
$$\mC=\begin{pmatrix}
  c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1t}\\
  c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2t}\\
  \vdots & \vdots &  & \vdots \\
  c_{s1} & c_{s2} & \cdots & c_{st}\\
\end{pmatrix},$$
称为一个$s$行$t$列(或者$s\times t$){\em 矩阵}(matrix), $c_{ij}$称为矩阵$\mC$的$(i,j)$元。 元素在$F$中$s$行$t$列的矩阵的全体记为$M_{s,t}(F)$.
\end{Def}
\end{frame}


\begin{frame}
  
在方程组(\ref{eq-linear-equation})中,
$$\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n}\\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
  \vdots & \vdots &  & \vdots  \\
  a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} 
\end{pmatrix}$$
称为方程组的{\em 系数矩阵}(coefficient matrix). 
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
  a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n} & b_1\\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\
  \vdots & \vdots &  & \vdots & \vdots \\
  a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
\end{array}\right)$$
称为方程组的{\em 增广矩阵} (augmented matrix)。这里为了能区分常数项，我们在常数项对应列的左侧用竖线区分。
\end{frame}


\begin{frame}
  
对比线性方程组的初等变换，我们可以定义矩阵的{\em 初等变换}，有行和列两种初等变换，又称为初等行（列）变换。
\begin{Def}\label{def-matrix-elem}
矩阵的初等行(列)变换是指对一个矩阵施行下列变换.
\begin{enumerate}%[label={\rm \Roman{*}}]
  \item[${\rm I}$] 交换矩阵的两行(列); 
  \item[${\rm I\!I}$] 矩阵的某一行(列)乘一个非零常数;
  \item[${\rm I\!I\!I}$] 矩阵的某一行(列)乘一个数加到矩阵的另一行(列)。
\end{enumerate}
\end{Def}
\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{itemize}
  \item 交换$i,j$行的初等变换记为$\mP_{ij}$
  \item 第$i$行乘一个非零数$\lambda$的初等变换记为$\mD_{i}(\lambda)$
  \item 把第$j$行乘数$c$加到第$i$行的初等变换记为$\mT_{ij}(c)$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  
解方程组\ref{eq-example-ch1-1}的过程可表达为
$$\arraycolsep=3pt
\left(\begin{array}{rrr|r}
  4&10&-3&8\\
  1&2&-1&1\\
  -2&-3&7&9
\end{array}\right)\xrightarrow{\mT_{12}(-4)}\left(\begin{array}{rrr|r}
  0&2&1&4\\
  1&2&-1&1\\
  -2&-3&7&9
\end{array}\right)$$
$$\xrightarrow{\mT_{32}(2)}\left(\begin{array}{rrr|r}
  0&2&1&4\\
  1&2&-1&1\\
  0&1&5&11
\end{array}\right)\arraycolsep=3pt
\xrightarrow{\mP_{12}} \left(\begin{array}{rrr|r}
  1&2&-1&1\\
  0&2&1&4\\
  0&1&5&11
\end{array}\right)$$
\end{frame}

\begin{frame}
  
$$\xrightarrow{\mT_{23}(-2)}\left(\begin{array}{rrr|r}
  1&2&-1&1\\
  0&0&-9&-18\\
  0&1&5&11
\end{array}\right)
\xrightarrow{\mD_{2}(-\frac{1}{9})}\left(\begin{array}{rrr|r}
  1&2&-1&1\\
  0&0&1&2\\
  0&1&5&11\\
\end{array}\right)$$
$$\xrightarrow{\mP_{23}}\left(\begin{array}{rrr|r}
  1&2&-1&1\\
  0&1&5&11\\
  0&0&1&2\\
\end{array}\right)\xrightarrow{\mT_{23}(-5)}\left(\begin{array}{rrr|r}
  1&2&-1&1\\
  0&1&0&1\\
  0&0&1&2\\
\end{array}\right)$$
\end{frame}


\begin{frame}
  
$$\xrightarrow{\mT_{13}(1)}\left(\begin{array}{rrr|r}
  1&2&0&3\\
  0&1&0&1\\
  0&0&1&2\\
\end{array}\right)\xrightarrow{\mT_{12}(-2)}\left(\begin{array}{rrr|r}
  1&0&0&1\\
  0&1&0&1\\
  0&0&1&2\\
\end{array}\right).$$
以此矩阵为增广矩阵的线性方程组为
$$\left\{\begin{array}{cccc}
x_1&&&=1,\\
&x_2&&=1,\\
&&x_3&=2.
\end{array}\right.$$
由上面的命题可知，该方程组与原方程组同解。
\end{frame}

\begin{frame}
  
对于任意$m\times n$矩阵$\mA$，都可通过初等行变换化为如下形式.
\[\renewcommand{\arraystretch}{0.8}
\begin{blockarray}{cccccccccccccccc}
  & & & l_1 & & & & l_2 &  & &  & l_r &  &  & \\
 \begin{block}{(ccccccccccccccc)c}
   0 & \cdots & 0 & 1 & * & \cdots & * & 0 & * & \cdots & * & 0 & * & \cdots & * & 1\\
    & & &  &  & &  & 1 & * & \cdots & * & 0 & * & \cdots & * & 2\\
    & &  &  &  &  &  &  &   & \ddots &  & \vdots & \vdots &  & \vdots & \vdots\\
   & &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1 & * & \cdots & * & r\\
   \\
    \\
 \end{block}
\end{blockarray},\]
\begin{enumerate}[label={\rm (\arabic*)}]
  \item 前$r\leq m$行有非零元; 
  \item 对$i=1,2,\cdots,r$, 第$i$行第一个非零元为$1$，在第$l_i$列; 
  \item $l_1<l_2<\cdots < l_r$; 
  \item 对于$i=1,2,\cdots,r$, 第$l_i$列只有第$i$行非零。
\end{enumerate}
称为$\mA$的{\em 最简行阶梯型}(reduced row echelon form), 记$\rref(\mA)$. 


\end{frame}


\begin{frame}
  
考虑线性方程组(\ref{eq-linear-equation})，利用初等行变换将增广矩阵化为如下形式. 
$$\begin{blockarray}{cccccccccccccccl}
  &&& l_1 & & & & l_2 &  & \cdots &  & l_r &  &  & \\
 \begin{block}{(ccccccccccccccc|l)}
  0 & \cdots & 0 & 1 & * & \cdots & * & 0 & * & \cdots & * & 0 & * & \cdots & * & b'_1\\
     &&& &  & &  & 1 & * & \cdots & * & 0 & * & \cdots & * & b'_2\\
    &&&  &  &  &  &  &   & \ddots &  & \vdots & \vdots &  & \vdots & \vdots\\
    &&& &  &  &  &  &  &  &  & 1 & * & \cdots & * & b'_r\\
    &&& &  &  &  &  &  &  &  &  &  &   & 0 & b'_{r+1}\\
    &&& &  &  &  &  &  &  &  &  &  &   &  &\\
    &&& &  &  &  &  &  &  &  &  &  &   &  &\\
 \end{block}
\end{blockarray}\,,$$
记这个矩阵为$\mC$. 这里第$r+1$行在$r<m$时出现，且$b'_{r+1}=0$ 或者$1$. 
\end{frame}

\begin{frame}
  
当$r<m$且$b'_{r+1}=1$时，第$r+1$行对应的方程是
$$0=1,$$
此时方程组无解。以$\mC$作为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解，因此，此时原方程组无解。

现假设$r=m$或者$r<m$，但$b_{r+1}'=0$。 此时以$\mC$为增广矩阵的线性方程组为
\begin{equation}
  \label{eq-solution-simplest}
  \arraycolsep=2pt
  \left\{
   \begin{array}{rrrrllrrl}
   x_{l_1}&&&&+c_{1,l_1+1}x_{l_1+1}&+\cdots +c_{1,n}x_n & =b_1',\\
     & x_{l_2} &&& +c_{2,l_2+1}x_{l_2+1}&+\cdots+c_{2,n}x_n &= b_2',\\
     &&\ddots  \\
    &&&  x_{l_r} & +c_{r,l_r+1}x_{l_r+1}&+\cdots+c_{r,n}x_n &= b_r'.
   \end{array}
  \right.
\end{equation}
它与原方程组(\ref{eq-linear-equation})同解,分为两种情形:
\end{frame}


\begin{frame}
  
情形1: $r=n$. 此时必然有$l_i=i, i=1,2,\cdots,n$，从而方程组(\ref{eq-solution-simplest})实为$x_i=b'_i, i=1,2,\cdots,n$. 此时方程组有唯一解。

情形2: $r<n$. 此时方程组(\ref{eq-solution-simplest})可转化为 
\begin{equation}
  \label{eq-solution}
  \arraycolsep=1.4pt
  \left\{
  \begin{array}{ll}
  x_{l_1}& =b'_1-c_{1,{l_1+1}}x_{l_1+1}-\cdots-c_{1,n}x_n,\\
  x_{l_2} &= b_2'-c_{2,l_2+1}x_{l_2+1}-\cdots-c_{2,n}x_n,\\
  & \quad\quad\quad\cdots\cdots\cdots\cdots  \\
 x_{l_r}&=b'_r-c_{r,l_r+1}x_{l_r+1}-\cdots-c_{r,n}x_n.
  \end{array}
 \right.
\end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}
  
需要注意的是因为对所有$k\neq i$有$c_{k,l_i}=0$， 所以$x_{l_i}$并不出现在方程组(\ref{eq-solution})右边的表达式中。此时我们可以任意给定$x_k, k\notin\{l_1, l_2, \cdots, l_r\}$的值，然后由方程组(\ref{eq-solution})算出$x_{l_1}, x_{l_2}, \cdots, x_{l_r}$的值，从而给出方程组(\ref{eq-solution})的一组解。显然方程组(\ref{eq-solution})的解都是这种形式。需要注意的是方程组(\ref{eq-solution})与原方程组(\ref{eq-linear-equation})同解。此时方程组(\ref{eq-linear-equation})有无穷多组解。这里$x_{l_1}, x_{l_2}, \cdots, x_{l_r}$称为方程的{\em 主变元}(principal variable)，而其他$x_k, k\notin\{l_1,l_2,\cdots,l_r\}$称为{\em 自由变元}(free variable)。
\end{frame}

\begin{frame}
  
{\em 例1：} 解线性方程组
  $$ \arraycolsep=2pt
  \left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}
    x_1&+&2x_2&+&3x_3&+&x_4&=&5,\\
    -x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4 &=&7,\\
    x_1&+&2x_2&-&9x_3&-&5x_4&=&-19.
  \end{array}\right. $$
\end{frame}

\begin{frame}
  
{\em 解：} 方程组的增广矩阵为
$$\left(\begin{array}{rrrr|r}
  1 & 2 & 3 & 1 & 5\\
  -1 & -2 & 3 & 2 & 7\\
  1 & 2 & -9 & -5 & -19\\
\end{array}\right).$$
第$1$行加到第$2$行，第$1$行乘$-1$加到第$3$行得
$$\left(\begin{array}{rrrr|r}
  1 & 2 & 3 & 1 & 5\\
  0 & 0 & 6 & 3 & 12\\
  0 & 0 & -12 & -6 & -24\\
\end{array}\right),$$
\end{frame}

\begin{frame}
  
第$2$行乘$-2$加到第$3$行得
$$\left(\begin{array}{rrrr|r}
  1 & -3 & -6 & 5 & 0\\
  0 & 7 & 16 & -12 & 1\\
  0 & 0 & 0 & 0 & 5\\
\end{array}\right),$$
其中第$3$行对应的方程为$0=5$, 由此可判断方程组无解。

\end{frame}

\begin{frame}
  
{\em 例2：} 解线性方程组
  $$ \arraycolsep=2pt
  \left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}
    x_1&+&2x_2&+&3x_3&+&x_4&=&5,\\
    -x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4 &=&7,\\
    x_1&+&2x_2&-&9x_3&-&5x_4&=&-19.
  \end{array}\right. $$
\end{frame}

\begin{frame}
  
{\em 解：} 方程组的增广矩阵为
$$\left(\begin{array}{rrrr|r}
  1 & 2 & 3 & 1 & 5\\
  -1 & -2 & 3 & 2 & 7\\
  1 & 2 & -9 & -5 & -19\\
\end{array}\right).$$
第$1$行加到第$2$行，第$1$行乘$-1$加到第$3$行得
$$\left(\begin{array}{rrrr|r}
  1 & 2 & 3 & 1 & 5\\
  0 & 0 & 6 & 3 & 12\\
  0 & 0 & -12 & -6 & -24\\
\end{array}\right),$$
\end{frame}

\begin{frame}
  
 第$2$行乘$2$加到第$3$行得 
$$\left(\begin{array}{rrrr|r}
  1 & 2 & 3 & 1 & 5\\
  0 & 0 & 6 & 3 & 12\\
  0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}\right),$$
第$2$行乘$-\dfrac{1}{2}$加到第$1$行得
$$\left(\begin{array}{rrrr|r}
  1 & 2 & 0 & -\dfrac{1}{2} & -1\\
  0 & 0 & 6 & 3 & 12\\
  0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}\right),$$ 
\end{frame}

\begin{frame}

第$2$行乘$\dfrac{1}{6}$得
$$
%\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\left(\begin{array}{rrrr|r}
  1 & 2 & 0 & -\dfrac{1}{2} & -1\\[0.5em]
  0 & 0 & 1 &  \dfrac{1}{2} & 2\\
  0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}\right),$$
这是最简行阶梯型。由此主变元为$x_1,x_3$, 自由变元为$x_2,x_4$, 原方程组的解为
$$\left\{\begin{array}{l}
  x_2=k_2,\\
  x_4=k_4,\\
  x_1 = -1 -2k_2+\dfrac{1}{2}k_4,\\
  x_3=2-\dfrac{1}{2}k_4.
\end{array}\right.$$
\end{frame}
\end{document}