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\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % itemize间距

%%%%%%%   Enviroments     %%%%%%%%%

%%%% 定理环境样式 %%%%%%%%%
\newtheoremstyle{Theorem} % 样式名字
    {\topsep}  % 环境前距
    {\topsep}  % 环境后距
    {\kaishu}  % 内容字体
    {}      % 缩进
    {\bfseries}  % 定理头字体
    {}  % 定理头紧接着的符号
    {.5em}  % 定理头后面空格宽度
    {}  % Theorem head spec (can be left empty, meaning ‘normal’)
\newtheoremstyle{Example}   % 同上
    {\topsep}      
    {\topsep}        
    {}               
    {}                     
    {\bfseries}              
    {}                 
    {.5em}            
    {}   
\theoremstyle{Theorem} % 下面的环境用Theorem样式
\newtheorem{Def}{定义}[section]
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\newtheorem{Theo}[Def]{定理}
\newtheorem{Lem}[Def]{引理}
\newtheorem{Koro}[Def]{推论}
\newtheorem{Claim}[Def]{断言}
\newtheorem{Remark}[Def]{备注}



\foreach \x in {A,...,Z}{
\expandafter\xdef\csname m\x\endcsname{\noexpand\ensuremath{\noexpand\boldsymbol{\x}}}}



%%%%%%:   Math Operators    %%%%%%%%%
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%%%%%  mathcal & mathscr %%%%%%%%%%%%
\foreach \x in {A,...,Z}{%
%\expandafter\xdef\csname cal\x\endcsname{\noexpand\ensuremath{\noexpand\mathcal{\x}}}
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\expandafter\xdef\csname bb\x\endcsname{\noexpand\ensuremath{\noexpand\mathbb{\x}}}}

 


%:    arrows       %%%%%%%%%%
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% Title page details
\title{{\color{red} 1.2 矩阵的运算}}
%\subtitle{}
\author{} 
\date{}


\begin{document}
\begin{frame}
% Print the title page as the first slide
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
    
   {\em 矩阵的乘法}. 解线性方程组时，矩阵在其中起到了简化记号的作用。在实际中，我们可能会面临这样一种情况: 有两组变元
$x_1,x_2,\cdots, x_n$和$y_1, y_2,\cdots, y_m$，它们之间满足
\begin{equation}
  \label{eq-ch1-x2y}\arraycolsep=1pt
  \left\{\begin{array}{rcrcccrcl}
  a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots &+&a_{1n}x_n&=&y_1,\\
  a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\cdots&+&a_{2n}x_n&=&y_2,\\
  &&\cdots\cdot\cdot&\cdots&\cdots\cdot\\
  a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\cdots&+&a_{mn}x_n&=&y_m.\\
\end{array}\right. 
\end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}
  
$y_1, y_2, \cdots, y_m$则满足线性方程组
\begin{equation}
\label{eq-ch1-y2b}
\arraycolsep=1pt
  \left\{\begin{array}{rcrcccrcl}
    b_{11}y_1&+&b_{12}y_2&+&\cdots &+&b_{1m}y_m&=&c_1,\\
    b_{21}y_1&+&b_{22}y_2&+&\cdots &+&b_{2m}y_m&=&c_2,\\
    &&\cdots\cdots&\cdots&\cdots\\
    b_{r1}y_1&+&b_{r2}y_2&+&\cdots &+&b_{rm}y_m&=&c_r.\\
  \end{array}\right.
\end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}
  
将$y_1, y_2,\cdots, y_m$的值代入，会得到关于$x_1, x_2,\cdots, x_n$的线性方程组。可以想象这个方程组的系数将非常复杂。

\medskip 
{\em 问题：} \red{它的系数矩阵能否由上面两个方程的系数矩阵来表达呢？}


\medskip 
{\em 答案：} 矩阵乘法！
\end{frame}

\begin{frame}
  
空间向量$\boldsymbol{\alpha}=(x_1, y_1, z_1)$和$\boldsymbol{\beta}=(x_2, y_2, z_2)$，

\medskip 
我们中学学过它们的数量积 
\[\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\beta}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\]
线性方程组中的
\[a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n\]
可以看作两个有$n$个坐标的向量的数量积.

\end{frame}

\begin{frame}
  
\begin{Def}\label{def-matrix-nult}
  对于矩阵$\mA\in M_{m,n}(F), \mB\in M_{n,r}(F)$, 我们定义它们的乘积$\mA\mB$为$m$行$r$列的矩阵$\mC$，其$(i,j)$元为$\mA$的第$i$行与$\mB$的第$j$列的数量积，即
  $$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}.$$
\end{Def}
\end{frame}

\begin{frame}
   \frametitle{矩阵乘法}

   $$\begin{pmatrix}
      \blue{1} & \blue{2} & \blue{3} & \blue{4}\\
      5 & 6 & 7 & 11\\
      2 & 5 & 8 & 13
   \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
      \blue{2} & 2 & 3 \\
      \blue{1} & 6 & 7 \\
      \blue{3} & 5 & 8 \\
      \blue{2} & 3 & 1
   \end{pmatrix}$$
   
   $$\begin{pmatrix}
      \blue{21} & &\\
      &&\\
      && 
   \end{pmatrix}$$
\end{frame}

\begin{frame}
   \frametitle{矩阵乘法}

   $$\begin{pmatrix}
      \blue{1} & \blue{2} & \blue{3} & \blue{4}\\
      5 & 6 & 7 & 11\\
      2 & 5 & 8 & 13
   \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
      2 & \blue{2} & 3 \\
      1 & \blue{6} & 7 \\
      3 & \blue{5} & 8 \\
      2 & \blue{3} & 1
   \end{pmatrix}$$
   
   $$\begin{pmatrix}
      21 & \blue{41} &\\
      &&\\
      && 
   \end{pmatrix}$$
\end{frame}

\begin{frame}
   \frametitle{矩阵乘法}

   $$\begin{pmatrix}
      \blue{1} & \blue{2} & \blue{3} & \blue{4}\\
      5 & 6 & 7 & 11\\
      2 & 5 & 8 & 13
   \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
      2 &  2 & \blue{3} \\
      1 &  6& \blue{7} \\
      3 &  5& \blue{8} \\
      2 &  3& \blue{1}
   \end{pmatrix}$$
   
   $$\begin{pmatrix}
      21 & 41 & \blue{45}\\
      &&\\
      && 
   \end{pmatrix}$$
\end{frame}

\begin{frame}
   \frametitle{矩阵乘法}

   $$\begin{pmatrix}
      1 & 2 & 3 & 4\\
      \blue{5} & \blue{6} & \blue{7} & \blue{11}\\
      2 & 5 & 8 & 13
   \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
      \blue{2} & 2 & 3 \\
      \blue{1} & 6 & 7 \\
      \blue{3} & 5 & 8 \\
      \blue{2} & 3 & 1
   \end{pmatrix}$$
   
   $$\begin{pmatrix}
      21 & 41 & 45\\
      \blue{59} & &\\
      && 
   \end{pmatrix}$$
\end{frame}


\begin{frame}
   \frametitle{矩阵乘法}

   $$\begin{pmatrix}
      1 & 2 & 3 & 4\\
      \blue{5} & \blue{6} & \blue{7} & \blue{11}\\
      2 & 5 & 8 & 13
   \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
      2 & \blue{2} & 3 \\
      1 & \blue{6} & 7 \\
      3 & \blue{5} & 8 \\
      2 & \blue{3} & 1
   \end{pmatrix}$$
   
   $$\begin{pmatrix}
      21 & 41 & 45\\
      59 & \blue{114} &\\
      && 
   \end{pmatrix}$$
\end{frame}


\begin{frame}
   \frametitle{矩阵乘法}

   $$\begin{pmatrix}
      1 & 2 & 3 & 4\\
      \blue{5} & \blue{6} & \blue{7} & \blue{11}\\
      2 & 5 & 8 & 13
   \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
      2 &  2 & \blue{3} \\
      1 &  6& \blue{7} \\
      3 &  5& \blue{8} \\
      2 &  3& \blue{1}
   \end{pmatrix}$$
   
   $$\begin{pmatrix}
      21 & 41 & 45\\
      59 & 114 & \blue{124}\\
      && 
   \end{pmatrix}$$
\end{frame}


\begin{frame}
   \frametitle{矩阵乘法}

   $$\begin{pmatrix}
      1 & 2 & 3 & 4\\
      5 & 6 & 7 & 11\\
      \blue{2} & \blue{5} & \blue{8} & \blue{13}
   \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
      \blue{2} & 2 & 3 \\
      \blue{1} & 6 & 7 \\
      \blue{3} & 5 & 8 \\
      \blue{2} & 3 & 1
   \end{pmatrix}$$
   
   $$\begin{pmatrix}
      21 & 41 & 45\\
      59 & 114 & 124\\
      \blue{59}&& 
   \end{pmatrix}$$
\end{frame}


\begin{frame}
   \frametitle{矩阵乘法}

   $$\begin{pmatrix}
      1 & 2 & 3 & 4\\
      5 & 6 & 7 & 11\\
      \blue{2} & \blue{5} & \blue{8} & \blue{13}
   \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
      2 & \blue{2} & 3 \\
      1 & \blue{6} & 7 \\
      3 & \blue{5} & 8 \\
      2 & \blue{3} & 1
   \end{pmatrix}$$
   
   $$\begin{pmatrix}
      21 & 41 & 45\\
      59 & 114 & 124\\
      59 & \blue{113}& 
   \end{pmatrix}$$
\end{frame}


\begin{frame}
   \frametitle{矩阵乘法}

   $$\begin{pmatrix}
      1 & 2 & 3 & 4\\
      5 & 6 & 7 & 11\\
      \blue{2} & \blue{5} & \blue{8} & \blue{13}
   \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
      2 &  2 & \blue{3} \\
      1 &  6& \blue{7} \\
      3 &  5& \blue{8} \\
      2 &  3& \blue{1}
   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
      21 & 41 & 45\\
      59 & 114 & 124\\
      59 & 113& \blue{118} 
   \end{pmatrix}$$
\end{frame}

\begin{frame}
  
线性方程组可以用矩阵的乘法来表达，如线性方程组$(\ref{eq-ch1-x2y})$可以很简洁地写成$\mA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$的形式, 其中
$$\mA=\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
  \vdots & \vdots &  & \vdots \\
  a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}
  x_1\\x_2\\\vdots\\x_n 
\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{y}=\begin{pmatrix}
  y_1\\y_2\\\vdots\\ y_m
\end{pmatrix}.$$
线性方程组(\ref{eq-ch1-y2b})可以写成$\mB\boldsymbol{y}=\boldsymbol{c}$, 其中 
$$\mB=\begin{pmatrix}
  b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m}\\
  b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m}\\
  \vdots & \vdots &  & \vdots \\
  b_{r1} & b_{r2} & \cdots & b_{rm}
\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{y}=\begin{pmatrix}
  y_1\\y_2\\\vdots\\y_m 
\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{c}=\begin{pmatrix}
  c_1\\c_2\\\vdots\\ c_r
\end{pmatrix}.$$
\end{frame}

\begin{frame}
  
将$\boldsymbol{y}=\mA\boldsymbol{x}$代入$\mB\boldsymbol{y}=\boldsymbol{c}$，得到
\[\mB(\mA\boldsymbol{x})=\boldsymbol{c}\] 这是关于$\boldsymbol{x}$的线性方程组，但\red{其系数矩阵是不是$\mB\mA$？也就是说，$\mB(\mA\boldsymbol{x})$是否等于$(\mB\mA)\boldsymbol{x}$？}
这本质就是在问矩阵乘法是否满足结合律，答案是肯定的。
\begin{Theo}\label{theo-matrix-mult-ass}
矩阵的乘法满足结合律。
\end{Theo}
\end{frame}


\begin{frame}
  
{\em 矩阵乘法不满足交换律}. 

\begin{itemize}[label={\blue{$\blacksquare$}}]
  \item  如果$\mA$是$m\times n$矩阵，$\mB$是$n\times r$矩阵，那么$\mA\mB$有定义；
  \item 如果$m=r$但$m\neq n$，此时虽然$\mB\mA$和$\mA\mB$有定义，但$\mA\mB$和$\mB\mA$是不同形状的矩阵，不可能相等；
  \item 如果$\mA$、$\mB$同为$n$阶方阵，$\mA\mB$与$\mB\mA$也未必相等，比如
\end{itemize}


$$\begin{pmatrix}
1 & 0\\
1 & 0 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix*}[r]
1 & -1\\
0 & 0 
\end{pmatrix*}=\begin{pmatrix}
1 & -1\\
1 & -1 
\end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix*}[r]
1 & -1\\
0 & 0 
\end{pmatrix*}\begin{pmatrix}
1 & 0\\
1 & 0 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 0 
\end{pmatrix}.$$
\end{frame}

\begin{frame}

  所有元素都为$0$的矩阵称为{\em 零矩阵}(null matrix)，记为$\mO$. 上面的例子表明，{\em 两个非零的矩阵的乘积可能为零矩阵.}

  \medskip 
  在$M_{m,n}(F)$中用$\mE_{ij}$表示$(i,j)$元为$1$, 其他元素为$0$的矩阵。
  
  \medskip 
  在$M_n(F)$中有 
$$\mE_{ij}\mE_{kl}=\begin{cases}
  \mE_{il}, & j=k;\\
  \mO, & j\neq k.
\end{cases}$$
\end{frame}

\begin{frame}
  
方阵$\mA$从左上到右下的对角线称为{\em 主对角线}(leading diagonal). 

\medskip
{\em 对角矩阵}(diagonal matrix): 
$$\mA=\begin{pmatrix}
  a_1\\
  &a_2\\
  &&\ddots\\
  &&& a_n
\end{pmatrix}, $$
\end{frame}

\begin{frame}
  
{\em 纯量矩阵 (scalar matrix): }$$\mA=\begin{pmatrix}
  a\\
  &a\\
  &&\ddots\\
  &&& a
\end{pmatrix}, $$

  
{\em 单位矩阵 (identity matrix): }$$\mI_n=\begin{pmatrix}
  1\\
  &1\\
  &&\ddots\\
  &&& 1
\end{pmatrix}. $$
\end{frame}

\begin{frame}
  
对角矩阵$\mD=\diag[d_1,d_2,\cdots,d_m]$和$m\times n$矩阵$\mA$, 乘积$\mD\mA$为将$\mA$的$m$行分别乘$d_1,d_2,\cdots,d_m$所得的矩阵
特别地，
\[\mI_m\mA=\mA\]
类似的，如果$\mD=\diag[d_1,d_2,\cdots,d_n]$, 那么$\mA\mD$为将$\mA$的$n$列分别乘$d_1,d_2,\cdots,d_n$所得的矩阵，特别地，
$$\mA\mI_n=\mA$$ 
\end{frame}

\begin{frame}{初等变换与矩阵乘法}
  
单位矩阵{\em 交换两行}得到的矩阵记为$\mP_{ij}$:
  $$\renewcommand{\arraystretch}{0.8}
 \mP_{ij}= 
    \begin{blockarray}{cccccccccccc}
        && && i&&&&j \\
      \begin{block}{c(ccccccccccc)}
       &1\\
       &&\ddots\\
       &&&1\\
       i&&&& 0 &&\cdots && 1\\
       &&&& & 1 & \\
       &&&& \vdots && \ddots && \vdots\\
       &&&&&&&1\\
       j&&&& 1 &&\cdots && 0\\
       &&&&&&&&&1\\
       &&&&&&&&&&\ddots\\
       &&&&&&&&&&&1\\
      \end{block}
    \end{blockarray}\;,$$
\end{frame}

\begin{frame}
  
单位矩阵第$i$行乘非零数$k$得到的矩阵记为$\mD_i(\lambda)$:
  $$\mD_i(\lambda)= 
    \begin{blockarray}{cccccccc}
      \begin{block}{c(ccccccc)}
       &1\\
       &&\ddots\\
       &&&1\\
       i&&&&\lambda\\
       &&&&&1\\
       &&&&&&\ddots\\
       &&&&&&&1\\ 
      \end{block}
    \end{blockarray}\;,$$
\end{frame}

\begin{frame}
  
将单位矩阵的第$j$行乘$c$加到第$i$行所得的矩阵$\mT_{ij}(c)$:
$$\mT_{ij}(c)= 
\begin{blockarray}{cccccccc}
  &&&i&&j\\
  \begin{block}{c(ccccccc)}
   &1\\
   &&\ddots\\
   i&&&1&&c\\
   &&&&\ddots \\
   j&&&&&1\\
   &&&&&&\ddots\\
   &&&&&&&1\\ 
  \end{block}
\end{blockarray}\;.$$
\end{frame}


\begin{frame}
  
我们称这些矩阵为{\em 初等矩阵}(elementary matrix)。直接验证：

\medskip 
\begin{itemize}[label={\blue{$\blacksquare$}}]
  \item $\mP_{ij}\mA$为交换$\mA$的$i,j$行所得的矩阵；
  \item $\mD_i(\lambda)\mA$为将$\mA$的第$i$行乘$\lambda$后所得的矩阵；
  \item $\mT_{ij}(c)\mA$为将$\mA$的第$j$行乘$c$加到第$i$行所得的矩阵。
\end{itemize} 
\end{frame}

\begin{frame}{矩阵加法}

\[\mA=\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
  \vdots & \vdots &  & \vdots \\
  a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}, \quad \mB=\begin{pmatrix}
  b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
  b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
  \vdots & \vdots &  & \vdots \\
  b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}
\end{pmatrix}\]

\[\mA+\mB=\begin{pmatrix}
  a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\
  a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\
  \vdots & \vdots &  & \vdots \\
  a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn}  
\end{pmatrix}\]
\end{frame}


\begin{frame}{矩阵数乘}
$\lambda\in F$, $\mA=(a_{ij})\in M_{m,n}(F)$, 定义数乘为
\[\lambda\mA=\begin{pmatrix}
  \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n}\\
  \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n}\\
  \vdots & \vdots &  & \vdots \\
  \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}
\end{pmatrix}\]
\end{frame}

\begin{frame}
  
$\mA$的{\em 负矩阵}(negative matrix)定义为$-\mA:=(-1)\mA$. 由此我们可以定义矩阵的减法为
$$\mA-\mB:=\mA+(-\mB).$$
$\mA-\mA$的所有元素都为零，即零矩阵$\mO$. 直接验证可以得到矩阵的加法、乘法和数乘具有如下性质.
\begin{itemize}
  \item[(1)] $\mA+\mB=\mB+\mA$, $(\mA+\mB)+\mC=\mA+(\mB+\mC)$; 
  \item[(2)] $\mO+\mA=\mA$, $\mA+(-\mA)=\mO$;
  \item[(3)] $\mA(\mB+\mC)=\mA\mB+\mA\mC$, $(\mB+\mC)\mA=\mB\mA+\mC\mA$; 
  \item[(4)] $\lambda(\mA+\mB)=\lambda \mA+\lambda \mB$, $(\lambda+\mu)\mA=\lambda \mA+\mu \mA$;
  \item[(5)] $(\lambda \mu)\mA=\lambda(\mu \mA)$, $\lambda (\mA\mB)=(\lambda \mA)\mB=\mA(\lambda \mB)$; 
  \item[(6)] $1\mA=\mA$.      
\end{itemize}
这里$\lambda,\mu\in F$, $\mA, \mB, \mC$都是元素在$F$中的矩阵. 
\end{frame}

\begin{frame}
  
$\mA\in M_{m,n}(F)$的{\em 转置矩阵}(transposed matrix) $\mA\trp$为$n\times m$矩阵，它的$(i,j)$元为$\mA$的$(j,i)$元$a_{ji}$, 即
$$\mA\trp=\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{21} &\cdots & a_{m1}\\
  a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\
  \vdots &\vdots & &\vdots\\
  a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}.$$
比如
$$\mA=\begin{pmatrix}
  1&2&3\\
  4&5&6
\end{pmatrix},\quad \mA\trp=\begin{pmatrix}
  1&4\\2&5\\3& 6
\end{pmatrix}.$$
\end{frame}

\begin{frame}
  
矩阵的转置和加法、乘法以及数乘的关系如下。
\begin{itemize}
  \item[(1)] $(\mA\trp)\trp=\mA$;
  \item[(2)] $(\mA+\mB)\trp=\mA\trp+\mB\trp$;
  \item[(3)] $(\mA\mB)\trp=\mB\trp \mA\trp$; 
  \item[(4)] $(\lambda \mA)\trp=\lambda \mA\trp$.  
\end{itemize}
这里除第(3)条外都是显然的.

{\em 对称矩阵}: $\mA\in M_{n}(F)$, 且$\mA=\mA\trp$, 如:
$$\begin{pmatrix}
  1 & 2 & 3\\
  2 & 4 & 5\\
  3 & 5 & 6
\end{pmatrix}.$$
\end{frame}
\end{document}