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%%%%%%%   Enviroments     %%%%%%%%%

%%%% 定理环境样式 %%%%%%%%%
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    {\topsep}  % 环境前距
    {\topsep}  % 环境后距
    {\kaishu}  % 内容字体
    {}      % 缩进
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    {.5em}  % 定理头后面空格宽度
    {}  % Theorem head spec (can be left empty, meaning ‘normal’)
\newtheoremstyle{Example}   % 同上
    {\topsep}      
    {\topsep}        
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\theoremstyle{Theorem} % 下面的环境用Theorem样式
\newtheorem{Def}{定义}[section]
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\newtheorem{Theo}[Def]{定理}
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\newtheorem{Remark}[Def]{备注}



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%%%%%%:   Math Operators    %%%%%%%%%
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%%%%%  mathcal & mathscr %%%%%%%%%%%%
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%:    arrows       %%%%%%%%%%
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% Title page details
\title{{\color{red} 1.3. 可逆矩阵}}
%\subtitle{}
\author{} 
\date{}


\begin{document}
\begin{frame}
% Print the title page as the first slide
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
    
在小学, 解方程
\[2x=6\]
方程两边同时除以$2$得，$x=3$.

\medskip 
现在我们遇到了线性方程组
$$\mA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b},$$
是否有类似的方法呢？
\end{frame}
 

\begin{frame}
   
假设$\mA$为$m\times n$的矩阵，如果存在矩阵$\mB$ 使得
$$\mB\mA=\mI_{n}, $$
那么
\[\boldsymbol{x}=\mI_n\boldsymbol{x}=(\mB\mA)\boldsymbol{x}=\mB(\mA\boldsymbol{x})=\mB\boldsymbol{b}\]
方程组就解出来了, 起到了两边同时“除以$\mA$”的效果, 此时我们称$\mB$为$\mA$的{\em 左逆}(left inverse)

\medskip 
若矩阵$\mC$使得
\[\mA\mC=\mI_{m}, \]
则称$\mC$为$\mA$的{\em 右逆}(right inverse)。
\end{frame}

\begin{frame}

如果$\mA$既有左逆$\mB$又有右逆$\mC$, 那么
\[\mB=\mB\mI=\mB(\mA \mC)=(\mB\mA)\mC=\mI\mC=\mC,\]
也就是说，{\em 左逆和右逆相等.}

如果方阵$\mA$既有左逆又有右逆，那么称$\mA$为可逆矩阵.
\begin{Def}
假设$\mA$是一个$n$阶方阵。如果存在方阵$\mB$，使得
\[\mB\mA=\mI=\mA\mB,\]
那么称$\mA$为{\em 可逆矩阵}(invertible matrix). 把$\mB$记为$\mA^{-1}$，则称$\mB$为$\mA$的{\em 逆矩阵}(inverse matrix). 
\end{Def}
\end{frame}


\begin{frame}
   
\red{是不是所有的方阵都是可逆矩阵呢？}

\medskip 
\begin{itemize}
   \item 零矩阵$\mO$显然不是可逆矩阵，因为对任意矩阵$\mB$都有$\mB\mO=\mO\neq \mI$.
   \item 一个矩阵$\mA$，如果某一行全为零，那么$\mA\mB$的那一行也全为零，不可能是$\mI$; 
   \item 如果$\mA$的某一列全为零，那么$\mB\mA$的那一列也全为零，这也不是$\mI$
\end{itemize}

\medskip 
因此，如果$\mA$的某一行或者某一列全为零，那么$\mA$总有一边不能乘一个矩阵$\mB$得到$\mI$，因此这样的$\mA$不是可逆的。
\end{frame}


\begin{frame}
   
\red{可逆矩阵的例子？}

\begin{itemize}
   \item 单位矩阵$\mI$肯定是可逆的, 因为$\mI\mI=\mI=\mI\mI$. 
   \item 下一个能想到的就是初等矩阵：
\[\mP_{ij},\quad \mD_{i}(\lambda) \;(\lambda\neq 0),\quad \mT_{ij}(c), \quad 0\neq \lambda\in F, c\in F.\]

\vspace{-.5cm}
\item 由于左乘初等矩阵对应初等行变换，因此 
  \[\mP_{ij}\mP_{ij}=\mI=\mP_{ij}\mP_{ij}\]
  \[\mD_{i}(\lambda)\mD_{i}\left(\dfrac{1}{\lambda}\right)=\mI=\mD_{i}\left(\dfrac{1}{\lambda}\right)\mD_{i}(\lambda),\]
  \[\mT_{ij}(c)\mT_{ij}(-c)=\mI=\mT_{ij}(-c)\mT_{ij}(c).\]
\end{itemize}

\vspace{-.5cm}
 \blue{所有的初等矩阵都是可逆矩阵, 且其逆矩阵为同类型初等矩阵。}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{Lem}\label{lem-invertible-product}
\begin{itemize}
   \item 两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵。
   \item 初等变换不改变矩阵的可逆性。
\end{itemize}
\end{Lem}

\vfill 
\end{frame}



\begin{frame}
因此，要判断一个矩阵$\mA$是否可逆，我们可以先对它进行初等行变换，化成行最简形式， 再进行判断。

\begin{Lem}\label{lem-}
任意$n$阶矩阵$\mA$都可以通过初等变换化为对角矩阵
$$\mD_{\mA}:=\begin{pmatrix}
  1\\
   & \ddots \\
   && 1\\
   &&& 0\\
   &&&& \ddots \\
   &&&&& 0
\end{pmatrix}$$
对角线上前$r$个数为$1$ ($0\leq r\leq n$), 后$n-r$个数为零。
\end{Lem}
\end{frame}



\begin{frame}{可逆矩阵的判定}
由前面的讨论，$\mA$可逆，当且仅当上面引理中的$\mD_{\mA}$可逆。 \alert{要判断$\mD_{\mA}$是否可逆就很简单了！}
\begin{itemize}
\item 当$r=n$时，$\mD_{\mA}=\mI_n$是单位矩阵，可逆，多而$A$可逆；
\item 当$r<n$时，$\mD_{\mA}$至少有一行全为零，因此不可逆，从而$\mA$不可逆。
\end{itemize}

总结：\alert{$n$阶矩阵$\mA$可逆，当且仅当它可以通过初等变换化为$n$阶单位矩阵！}

\end{frame}

\begin{frame}{可逆矩阵的判定}
\begin{Theo}\label{theo-}
对于$n$阶矩阵$\mA$， 下面几条等价.
\begin{itemize}
\item[$(1)$] $\mA$可逆；
\item[$(2)$] $\mA$可以通过初等{行、列}变换变成$\mI$；
\item[$(3)$] $\mA$是若干个初等矩阵的乘积；
\item[$(4)$] $\mA$可以通过初等{行}变换变成$\mI$；
\item[$(5)$] $\mA$可以通过初等{列}变换变为$\mI$.
\end{itemize}
\end{Theo}
   
\end{frame}



\begin{frame}{逆矩阵的计算}
对于可逆矩阵$\mA$, 由上面的定理知，存在若干个初等矩阵$\mP_{1}, \mP_2, \cdots, \mP_{r}$使得
$$\mP_{r}\cdots \mP_2\mP_{1}\mA=\mI.$$
两边右乘$\mA^{-1}$得
$$\mA^{-1}=\mP_{r}\cdots \mP_2\mP_{1}$$ 
同时对$\mA$和$\mI$做相应的行初等变换
$$(\mA,\; \mI)\stackrel{\mP_{1}}{\longrightarrow} (\mP_{1}\mA,\; \mP_{1}\mI)\stackrel{\mP_{2}}{\longrightarrow} \cdots
\stackrel{\mP_{r}}{\longrightarrow} (\mP_{r}\cdots \mP_2\mP_{1}\mA,\; \mP_{r}\cdots \mP_2\mP_{1}\mI).$$
当$\mA$变为$\mI$时，$\mI$恰好变为$\mA^{-1}$. 
\end{frame}

\begin{frame}{逆矩阵的计算}
\begin{Example} 假设
\[\mA=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2\\
2& 5 & 2\\
3 & 6 & 4
\end{pmatrix},\]
判断$\mA$是否可逆，如果可逆，计算$\mA^{-1}$.  
\end{Example}
\end{frame}
 
\begin{frame}

   \noindent {\bfseries 解:} 将$\mA$和$\mI$放在一起得
$$\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 2 &  1 & 0 & 0\\
2 & 5 & 2 &  0 & 1 & 0\\
3 & 6 & 4 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right).$$
进行初等行变换得
$$\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 2 &  1 & 0 & 0\\
2 & 5 & 2 &  0 & 1 & 0\\
3 & 6 & 4 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\xrightarrow{\mT_{21}(-2),\mT_{31}(-3)}
\left(
\begin{array}{ccr|rcc}
1 & 2 & 2 &  1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -2 &  -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & -2 & -3 & 0 & 1
\end{array}
\right)
$$ 
\end{frame}



\begin{frame}
   
$$
\xrightarrow{\mT_{23}(-1)}\!\!
\left(
\begin{array}{ccr|rcr}
1 & 2 & 2 &  1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 &  1 & 1 & -1\\
0 & 0 & -2 & -3 & 0 & 1
\end{array}
\right)\!\!\!\xrightarrow{\mT_{13}(1)}\!\!\!
\left(
\begin{array}{ccr|rcr}
1 & 2 & 0 &  -2 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 &  1 & 1 & -1\\
0 & 0 & -2 & -3 & 0 & 1
\end{array}
\right)
$$
$$\xrightarrow{\mT_{12}(-2)}
\arraycolsep=4pt
\left(\!
\begin{array}{ccr|rrr}
1 & 0 & 0 &  -4 & -2 & 3\\
0 & 1 & 0 &  1 & 1 & -1\\
0 & 0 & -2 & -3 & 0 & 1
\end{array}\!
\right)\!\xrightarrow{\mD_3(-\frac{1}{2})}\!
\left(
\begin{array}{ccr|rrr}
1 & 0 & 0 &  -4 & -2 & 3\\
0 & 1 & 0 &  1 & 1 & -1\\[0.2em]
0 & 0 & 1 & \dfrac{3}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2}
\end{array}
\right).$$
\end{frame}

\begin{frame}
   
此时，左边已经化为单位矩阵$\mI$, 因此$\mA$可逆，其逆矩阵为
$$\mA^{-1}=\begin{pmatrix*}[r]
-4&-2&3\\
1&1&-1\\[.2em]
\dfrac{3}{2}& 0 & -\dfrac{1}{2}
\end{pmatrix*}.$$
\end{frame}

\end{document}