\documentclass{ctexbeamer}
%\usepackage{ctex}
\usepackage{amsthm,amssymb,amsmath,mathrsfs, color,xcolor,tikz,tikz-cd,tikz-3dplot,pgf,pgfplots}
\usepackage{tcolorbox}
\usepackage[all]{xy} 
\usepackage[yyyymmdd]{datetime}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{nicematrix}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{ifthen,xfp} 
\usepackage{etoc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multirow,blkarray}
\usepackage{mdframed}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage[european]{circuitikz}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{mathtools}
%\usepackage{arydshln}
%\ctikzset{resistor/scale=0.3}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{geometry}
\usepackage{romannum}
\usepackage{fontspec}


 
\usetikzlibrary{calc}


\usetheme{default}
\usecolortheme{rose}
\useinnertheme[shadow]{rounded}
\usefonttheme[onlymath]{serif}
\everydisplay{\color{red}}
\setbeamertemplate{itemize item}[square]
 

\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\tikzset{dot/.style={circle,inner sep=1pt,fill,label={\tiny #1},name=#1}}
 


\setCJKsansfont{SimSong-Regular}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.3} 
\renewcommand{\em}{\color{blue}}
\newcommand{\trp}{^{\rm T}} 

%\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % itemize间距

%%%%%%%   Enviroments     %%%%%%%%%

%%%% 定理环境样式 %%%%%%%%%
\newtheoremstyle{Theorem} % 样式名字
    {\topsep}  % 环境前距
    {\topsep}  % 环境后距
    {\kaishu}  % 内容字体
    {}      % 缩进
    {\bfseries}  % 定理头字体
    {}  % 定理头紧接着的符号
    {.5em}  % 定理头后面空格宽度
    {}  % Theorem head spec (can be left empty, meaning ‘normal’)
\newtheoremstyle{Example}   % 同上
    {\topsep}      
    {\topsep}        
    {}               
    {}                     
    {\bfseries}              
    {}                 
    {.5em}            
    {}   
\theoremstyle{Theorem} % 下面的环境用Theorem样式
\newtheorem{Def}{定义}[section]
\newtheorem{Prop}[Def]{命题}
\newtheorem{Theo}[Def]{定理}
\newtheorem{Lem}[Def]{引理}
\newtheorem{Koro}[Def]{推论}
\newtheorem{Claim}[Def]{断言}
\newtheorem{Remark}[Def]{备注}



\foreach \x in {A,...,Z}{
\expandafter\xdef\csname m\x\endcsname{\noexpand\ensuremath{\noexpand\boldsymbol{\x}}}}



%%%%%%:   Math Operators    %%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\ch}{char}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\Img}{Im}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\DeclareMathOperator{\Orth}{O}
\DeclareMathOperator{\SO}{SO}
\DeclareMathOperator{\PGL}{PGL}
\DeclareMathOperator{\PSL}{PSL}
\DeclareMathOperator{\ord}{o}
\DeclareMathOperator{\rref}{rref}
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\DeclareMathOperator{\Ht}{ht}
\DeclareMathOperator{\Char}{char}
\DeclareMathOperator{\Post}{Post}
\DeclareMathOperator{\Pre}{Pre}
\DeclareMathOperator{\diag}{diag}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\dd}{d}








\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
 
%%%%%  mathcal & mathscr %%%%%%%%%%%%
\foreach \x in {A,...,Z}{%
%\expandafter\xdef\csname cal\x\endcsname{\noexpand\ensuremath{\noexpand\mathcal{\x}}}
\expandafter\xdef\csname scr\x\endcsname{\noexpand\ensuremath{\noexpand\mathscr{\x}}}
\expandafter\xdef\csname bb\x\endcsname{\noexpand\ensuremath{\noexpand\mathbb{\x}}}}

 


%:    arrows       %%%%%%%%%%
\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
\newcommand{\lla}{\longleftarrow}
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\lraf}[1]{\stackrel{#1}{\lra}}
\newcommand{\llaf}[1]{\stackrel{#1}{\lla}}
\newcommand{\raf}[1]{\stackrel{#1}{\ra}}
\newcommand{\laf}[1]{\stackrel{#1}{\la}}

 

 
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}


\newcommand{\rem}[1]{[#1]}



\newcommand{\red}[1]{{\color{red}\bf #1}}
\newcommand{\blue}[1]{{\color{blue}\bf #1}}
\newcommand{\eq}[1]{\,\,\stackrel{#1}{\sim}\,\,}
\newcommand{\cpx}[1]{#1^{\bullet}}



\setbeamertemplate{bibliography item}[article]



% Title page details
\title{{\color{red} 1.5. 矩阵的秩}}
%\subtitle{}
\author{} 
\date{}


\begin{document}
\begin{frame}
% Print the title page as the first slide
\titlepage
\end{frame}


\begin{frame}
在解线性方程组$\mA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$时:
\[\mA\lraf{\text{行}}\rref(\mA)\]
\[(\mA,\boldsymbol{b})\lraf{\text{行}}\rref(\mA,\boldsymbol{b})\]
系数矩阵$\mA$和增广矩阵$(\mA,\boldsymbol{b})$的最简行阶梯型$\rref(\mA)$和$\rref(\mA,\boldsymbol{b})$的非零行数\alert{相等}，则方程组有解，否则无解！


\begin{problem}
    给定矩阵$\mA$，$\rref(\mA)$的非零行数是否由$\mA$唯一确定？
\end{problem}
即: 与将$\mA$变为$\rref(\mA)$所采用的初等行变换的选取无关？

\medskip 
注：实际上，甚至$\rref(\mA)$也是由$\mA$唯一确定的！
\end{frame}


\begin{frame}

假设$\mA$的最简行阶梯型$\rref(\mA)$有$r$个非零行，比如:
\begin{Example}
$$\text{假设 }\rref(\mA)=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 4\\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 &3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &  2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0  
\end{pmatrix},$$
可对$\rref(\mA)$进一步用列初等变换，将其化为
$$\begin{pmatrix}
    1&0&0&0&0&0&0\\
    0&1&0&0&0&0&0\\
    0&0&1&0&0&0&0\\
    0&0&0&0&0&0&0
\end{pmatrix}$$
\end{Example}
\end{frame}

\begin{frame}

通过上面的例子可以发现，如果$\mA$的最简行阶梯型$\rref(\mA)$有$r$行非零，可进一步作列初等变换，将其化为
$$\begin{pmatrix}
    \mI_r & \mO\\
    \mO & \mO
\end{pmatrix}$$
形式。
\begin{Lem}\label{lem-rank}
上面矩阵中的$r$是由$\mA$唯一确定的, 叫作矩阵$\mA$的{\em 秩}(rank), 记作$\rank(\mA)$. 
\end{Lem}
\end{frame}

\begin{frame}

矩阵的秩有下面几条基本的性质。
\begin{Prop}\label{prop-rank}
假设$\mA$为$m$行$n$列矩阵，则下列结论成立.
\begin{enumerate}
    \item 如果$\mA$只有$l$行(列)非零，则$\rank(\mA)\leq l$;
    \item $\rank(\mA)\leq \min\{m,n\}$;
    \item 初等变换不改变矩阵的秩;
    \item 若$\mP,\mQ$可逆，则$\rank(\mP\mA\mQ)=\rank(\mA)$;
    \item $\rank(\mA)=\rank(\mA\trp)$
\end{enumerate}
\end{Prop}
\end{frame}

\begin{frame}

    从定义还容易得到如下结论。
\begin{Prop}
    $n$阶方阵$\mA$可逆当且仅当$\rank(\mA)=n$. 
\end{Prop}
利用矩阵秩的语言，还可以重新总结线性方程组解的条件。
\begin{Theo}\label{theo-lineareq-rank}
对于线性方程组$\mA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$, 其中$\mA\in M_{m,n}(F)$, 下列结论成立。
\begin{enumerate}
  \item $\mA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$有解，当且仅当$\rank(\mA)=\rank(\mA,\boldsymbol{b})$;
  \item $\mA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$有唯一解，当且仅当$\rank(\mA)=\rank(\mA,\boldsymbol{b})=n$.
  \item $\mA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$有无穷多解，当且仅当$\rank(\mA)=\rank(\mA,\boldsymbol{b})<n$.
\end{enumerate}
\end{Theo}
\end{frame}

\begin{frame}

    一个重要但不显然的结论是
\begin{Prop}\label{prop-rank-mult}
两个矩阵乘积的秩不超过其中任何一个矩阵的秩，即
\[\rank(\mA\mB)\leq\min\{\rank(\mA),\rank(\mB)\}\]
\end{Prop}

证明:  假设$\rank(\mB)=r$，则存在可逆矩阵$\mP, \mQ$使得
$$\mP\mB\mQ=\begin{pmatrix}
  \mI_{r} & \mO\\
  \mO & \mO
\end{pmatrix}.$$
因此$\mA\mB=\mA\mP^{-1}\mP\mB\mQ \mQ^{-1}$. 左右两边同时乘可逆矩阵不改变矩阵的秩，因此
\end{frame}

\begin{frame}

\[\rank(\mA\mB)=\rank(\mA\mP^{-1}(\mP\mB\mQ)).\]
因为$\mP\mB\mQ$只有前$r$列非零，所以$\mA\mP^{-1}(\mP\mB\mQ)$至多前$r$列非零，即
\[\rank(\mA\mB)=\rank(\mA\mP^{-1}(\mP\mB\mQ))\leq r,\]
即$\rank(\mA\mB)\leq \rank(\mB)$.

此外，$\rank(\mA\mB)=\rank(\mB\trp \mA\trp)\leq\rank(\mA\trp)=\rank(\mA)$. 
\end{frame}

\begin{frame}
    
上述命题有个重要的推论。
\begin{Koro}\label{koro-inverse}
如果$n$阶方阵$\mA,\mB$满足$\mA\mB=\mI_n$，那么$\mA, \mB$可逆且互为逆矩阵。
\end{Koro}
\end{frame}

\end{document}